Analisi multivariata delle variabili morfometriche caratterizzanti i bacini dei torrenti Maremola e Bottassano

Come normale conseguenza del lavoro sviluppato durante il primo anno di studi (1995/1996) presso il laboratorio di Geografia Fisica e Telerilevamento dell'Università di Liegi (B), é stato affrontato il problema concernente le relazioni intercorrenti tra tutte le variabili morfometriche determinate.
L'applicazione di tecniche di indagine statistica multivariata ha permesso la determinazione di differenti associazioni di variabili, associazioni caratterizzanti nell'insieme la geometria del bacino, la pendenza, gli ordini di gerarchizzazione, drenaggio, fattori di forma ed i valori degli integrali ipsometrici.
Emerge che non esiste un metodo assoluto per evidenziare i rapporti esistenti tra i differenti valori; i risultati allo stato attuale delle conoscenze devono essere valutati talvolta soggettivamente al fine di ottenere un risultato coerente con la realtà delle caratteristiche morfologiche locali.

L'Analisi Multivariata permette lo studio di complessi insiemi di dati, in cui si hanno molte variabili indipendenti e possibili variabili dipendenti, correlate le une con le altre secondo differenti gradi. Queste tecniche possono essere intese come una successione di procedure di predizione e classificazione; il termine 'multivariata' indica come esse consentano di analizzare le interrelazioni esistenti tra differenti variabili e di riassumere e ridurre il numero delle stesse a quelle necessarie a descrivere il fenomeno studiato.

Nel corso della ricerca sono state prese in considerazione le seguenti tecniche di indagine:

-Cluster Analysis;
-Matrici di Similarità (Similarity Matrix);
-Analisi dei Componenti Principali (Principal Component Analysis);
-Analisi Fattoriale (Factor Analysis);
-Analisi delle Corrispondenze (Correspondence Analysis);
-Analisi Multidimensionale (Multidimensional Analysis).

Cluster Analysis
Si tratta di una tecnica di Analisi Multivariata che organizza differenti variabili in gruppi aventi caratteristiche omogenee. Questi gruppi che prendono origine (o clusters), possiedono caratteristiche intrinseche omogenee e si differenziano dai clusters adiacenti.

E' una tecnica relativamente semplice, che può impiegare i dati grezzi, anche se alcuni autori suggeriscono l'utilizzo di variabili standardizzate, al fine di possedere un'unica unità di misura.

Altri criteri sono stati elaborati per definire i cluster, come il criterio della minima varianza, la minima varianza gerarchica, il metodo del legame medio e pesato, il metodo mediano e quello centroide.
Un problema che emerge dall'applicazione della Cluster Analysis é che l'output grafico che si ottiene differisce, anche in maniera significativa, se confrontato con altri metodi di analisi, per cui si rende indispensabile l'apporto soggettivo dell'analista per determinare con maggior 'oggettività' possibile i cluster ottenuti, una regola che viene spesso applicata é quella di isolare le associazioni che rimangono stabili per una più lunga distanza.
Complessivamente sono state considerate 32 variabili e 31 bacini; le due tecniche impiegate 'single e complete linkage' evidenziano come i risultati mostrino un certo grado di similitudine.

Sono stati identificati i seguenti clusters:

1- Densità di Drenaggio e Frequenza di Drenaggio (D, F).
2- Rapporto di rilievo, Pendenza del bacino, Pendenza dell'asta, Integrale della curva di equilibrio, Integrale Ipsometrico (Rh, Pb, Pa, Ieq ed I).
3- Rapporto di Allungamento e Circolarità (Ra, Rc); entrambi esprimono la geometria strettamente legata alle caratteristiche geomorfologico-strutturali del bacino. La sola differenza consiste nel fatto che la prima variabile risulta essere dipendente dalla lunghezza del bacino misurata lungo l'asta principale, mentre nel secondo caso si tiene in considerazione solo la superficie ed il perimetro dello stesso.
4- Rapporti ed Indici di biforcazione (Rb, Rbd, R, R°).
5- Lunghezza media delle aste e dislivello delle stesse (L3m, Ha).
6- Il coefficiente di Rugosità ed il dislivello del bacino (Rugo, Hb).
7- Segue un numeroso gruppo di variabili correlate tra loro, esprimenti una relazione tra caratteristiche geometriche piane (Superficie e Perimetro), Lunghezza e Numero delle aste fluviali.

Matrici di Similarità
Esistono differenti metodi per determinare il grado di similarità esistente tra serie di variabili (R-mode) ed oggetti (Q-mode).
Mentre per quanto riguarda gli oggetti (i bacini) normalmente si applica la distanza euclideiana (variabile tra 0 ed infinito, con 0 corrispondente all'identità), nel nostro caso verrà impiegato il coefficiente di correlazione espresso secondo i coefficienti di correlazione di Pearson e Spearman (rank correlation). La correlazione indica il grado con cui la variazione di una variabile é legata alla variazione di un'altra.
I diagrammi a punti evidenziano i tipi di relazione lineare che si possono rinvenire (vedi figura) tra due variabili. E' chiaro che può esistere una correlazione non lineare tra due valori (esponenziale, logaritmica, etc...); in tal caso essa non può venire determinata attraverso questo tipo di analisi.

PEARSON'S PRODUCT MOMENT
Matematicamente é definito come il rapporto della covarianza tra le variabili X ed Y per il prodotto delle relative deviazioni standard; esso diventa semplicemente la misura della covarianza delle variabili nel caso ci si trovi in presenza di una serie standardizzata (infatti il processo di standardizzazione pone uguale a zero il valor medio, ed all'unità la deviazione standard e la varianza). Il valore del coefficiente si ottiene dalla formula:

ed il valore di r risulta essere compreso tra -1 e +1; in situazioni in cui non sussiste alcuna concordanza si avrà valore uguale a zero.

SPEARMAN RANK CORRELATION COEFFICIENT
Invece di impiegare valori precisi di una variabile, o quando la precisione delle stesse non é possibile o é in dubbio, si possono organizzare i dati secondo un ordine crescente (importanza, taglia...) ed associare ad essi una numerazione cronologica (1,2,3...n).
Se le due variabili sono associate, dalla formula sotto indicata si otterrà un valore compreso tra -1 ed +1 avente lo stesso significato del coefficiente di Pearson.

D= differenza tra i ranghi dei valori delle variabili X ed Y;
N=numero delle coppie di valori (X ed Y).

Questo metodo risulta essere facilmente calcolabile, non é sensibilmente influenzato dalla presenza di outliers, rileva relazioni lineari tra variabili così come relazioni logaritmiche, esponenziali, radici quadrate ecc.

KENDALL 'S RANK CORRELATION COEFFICIENT
Simile al coefficiente di Spearman, ma calcolato in maniera differente, misura il grado di disordine dei valori confrontandone la successione con quella che si ottiene ordinando gli stessi.

Sebbene i coefficienti ottenuti tramite il metodo di Spearman e Kendall, non tengano evidentemente conto della distribuzione, le associazioni che si ottengono possiedono una buona analogia con quelle relative al coefficiente di Pearson.

I gruppi evidenziati vengono a definire le seguenti associazioni:

1- La superficie occupata dal bacino, il perimetro, le lunghezze totali delle aste di primo, secondo e terzo ordine, la lunghezza del bacino, la lunghezza dell'asta principale ed il numero di anomalia gerarchica (A, P, L1t, L2t, L3t, La Lb, Ga rispettivamente) definiscono un’associazione che presenta elevati gradi di correlazione, in cui all'interno si possono separare i sottogruppi (Lb, P, L2t e L3t, La). Possiamo definire questo primo sottogruppo come espressione della geometria del bacino, legata essenzialmente alla superficie occupata ed alla lunghezza delle aste.
2- La lunghezza totale, il numero dei corsi d'acqua del primo e secondo ordine ed il rapporto di biforcazione (Lt, N1, N2, Rb) formano un secondo gruppo, legato principalmente al numero di aste presenti ed alla influenza che esse possiedono sulla lunghezza totale dei corsi nel bacino.
3- Il rapporto di biforcazione, rapporto di biforcazione diretto espresso anche come media ponderata (Rb, Rbd, Rbd°) evidentemente possiedono un elevato coefficiente di correlazione in quanto espressione di uno stesso fenomeno.
4- Il valore della pendenza dell'asta, del bacino ed il rapporto di Rilievo (Pa, Pb, Rh) esprimono il valore di un rapporto lunghezza/altezza (dislivello) che risulta essere comune sia per le aste che per i bacini (vedi anche quanto descritto nell'Analisi a Cluster).
5, 6- Il rapporto di allungamento e circolarità (Ra, Rc) e gli Indici di biforcazione (R ed R°), come già visto in precedenza, mostrano valori del coefficiente di correlazione sempre prossimo all'unità.

Analisi dei Componenti Principali
L'Analisi dei Componenti Principali, può essere considerata come una tecnica di organizzazione e semplificazione di una serie di dati multivariati.
Lo scopo é quello di ridurre il volume di un set di dati in un numero di relazioni più piccolo, senza una perdita significativa nel contributo delle variazioni delle singole variabili. Questo tipo di analisi viene sviluppata in maniera più approfondita tramite l'Analisi Fattoriale (Factor Analysis).
La PCA (Principal Component Analysis) trasforma una serie di variabili N in un nuovo set di N componenti principali non correlati tra loro, e graficamente rappresentati secondo assi perpendicolari tra loro. Esistono tanti componenti principali quante sono le variabili esaminate ma, ai fini dell'indagine statistica vengono impiegati normalmente non più di 3 o 4 c.p. o comunque in funzione della varianza totale degli stessi.

Dalla PCA si calcolano gli eigenvector ed eigenvalue (il termine eigen ha radice germanica, e significa caratteristico); l'eigenvector fornisce la direzione in cui l'associazione delle variabili è più allungata, le proiezioni dei dati degli eigenvector sono i Componenti Principali, i corrispondenti eigenvalues forniscono un'indicazione dell'ammontare dell'informazione che i c.p. rappresentano. Riassumendo, gli eigenvector corrispondono agli assi dell'ellissoide ottenuto dalla matrice di valori originari, e gli eigenvalues corrispondono alla lunghezza di questo asse.

Ciascun eigenvector possiede i contributi di ciascuna variabile analizzata, e analogamente, ogni variabile apporterà contributi differenti agli eigenvectors.

Esistono principalmente due metodi di estrazione a partire dai dati grezzi:
-il primo, utilizza la matrice Varianza/Covarianza; questa viene impiegata nel caso in cui le variabili presentano una varianza similare ed una stessa unità di misura.
-il secondo, prende in considerazione la matrice di correlazione, che risulta essere equivalente alla matrice varianza/covarianza dei valori standardizzati.
Geometricamente questo metodo produce una compressione dell'asse ottenuto dalle variabili aventi una grande varianza e stira l'asse cui corrisponde una piccola varianza del valore delle variabili. In genere viene impiegato quando i dati sono espressi con differenti unità di misura.
Per quello che concerne il trattamento delle variabili stesse, in letteratura si rinvengono teorie contraddittorie che difendono ora la necessità di standardizzare i valori, ora di impiegare le variabili allo stato puro. Risulta comunque a discrezione dell'operatore scegliere il metodo che meglio si conforma al modello.

Al fine di determinare il numero di fattori significativi, é stato costruito un grafico della varianza su cui vengono rappresentate le percentuali di varianza totale possedute dai singoli eingenvalue. Il numero di componenti da considerare viene determinato in base all'andamento della curva cumulativa, funzione del punto in cui avviene il passaggio verso un 'appiattimento' della stessa (root curve criterion). Un altro metodo consiste nel considerare solo i componenti che possiedono una varianza (cumulata o percentuale) maggiore del 75% (variance rule), oppure nel ritenere solo i fattori aventi un valore dell'eigenvalue >1.
Nel caso in esame sono stati estratti i primi quattro componenti (definiti con le sigle PC1....PC4) in quanto la somma cumulata degli stessi raggiunge una significatività del 87%, valore più che sufficiente a descrivere tutte le variabili considerate; da essi sono stati ricavati i grafici contenenti i valori degli eigenvectors.
L'impossibilità di ottenere una visione a tre o più dimensioni sulla distribuzione spaziale dei punti, ha reso necessario l'elaborazione di grafici secondo diversi piani di orientazione.
Principalmente si distinguono i seguenti quattro gruppi:
1- Area, Perimetro, Lunghezza dell'asta principale, Lunghezze totali dei corsi di I°, II° e III° ordine, Lunghezza totale di tutte le aste presenti nel bacino, Numero di aste di I° e II° ordine, Numero di anomalia gerarchica (rispettivamente A, P, La, L1t, L2t, L3t, Lt, N1, N2, Ga).
2- Indici di biforcazione (R, R°).
3- Rapporti di allungamento e circolarità (Ra, Rc).
4- Pendenza dell'asta, Pendenza del bacino e Rapporto di Rilievo (Pa, Pb, Rh).

Analisi Fattoriale
A differenza dell'Analisi dei Componenti Principali, che si limita a rappresentare in uno spazio n-dimensionale un set di dati multivariati, l'analisi fattoriale si spinge oltre e, oltre ad estrarre i fattori iniziali, presuppone una successiva rotazione degli stessi, un test di significatività ed interpretazione.
Lo scopo é, similarmente al metodo dei PCA da cui deriva, quello di descrivere la variazione in n set di variabili utilizzando il minor numero possibile di fattori; di essi é relativamente facile individuare i primi od i secondi componenti, mentre diviene sempre più difficoltoso individuare gli assi di ordine superiore al terzo.

Le operazioni che si effettuano per il calcolo dei fattori principali sono:
-Determinazione delle variabili da prendere in considerazione.
-Creazione di una matrice di correlazione n x n utilizzando uno dei differenti metodi di calcolo (pearson, spearman, kendall, varianza/covarianza, coeff. di dissimilarità ect.);
-Estrazione degli eigenvalors e degli eigenvectors.
-Determinazione dei fattori che devono essere presi in considerazione.

Il numero di componenti da considerare può essere determinato secondo differenti approcci: quello più generico consiste nel considerare soltanto i primi due o tre fattori che normalmente possiedono i valori di varianza più elevati nel set di dati.
Più precisa é la tecnica che prende in esame lo sviluppo della curva cumulativa, in funzione del punto in cui avviene il passaggio verso un 'appiattimento' della stessa (root curve criterion).
Un altro metodo consiste nel considerare solo i componenti che possiedono una varianza (cumulata o percentuale) maggiore del 75% (variance rule) oppure nel prendere in considerazione solo i fattori aventi un valore dell'eigenvalue >1. Infine si ha lo Skree Test, output grafico in cui viene determinata la varianza proporzionale in funzione dei fattori calcolati (vedi figura, terzo diagramma);

-Dai fattori ottenuti, si ottengono i "loadings", i cui valori corrispondono al grado di correlazione esistente tra ciascuna variabile e ciascun fattore; essi possiedono un valore compreso tra -1 e +1 (come per il coefficiente di correlazione di Pearson). Il coefficiente di determinazione multiplo, definito con il nome di comunanza (communality), corrisponde alla somma dei quadrati dei loadings di ogni singolo fattore, e rappresentano la varianza di ogni variabile espressa dai fattori presi in esame.

-Rotazione dei fattori secondo le direzioni più ottimali di orientazione degli assi. Esistono diverse tecniche che permettono di evidenziarne in maniera selettiva le differenze, come il metodo varimax ortogonale ed obliquo, oppure equamax, quartimax, promax ecc. Nel caso in esame é stato impiegato il metodo varimax ortogonale ed obliquo: il primo metodo permette, effettuando una rotazione di 90° degli assi ortogonali tra loro (e quindi non correlati), di separare associazioni di variabili che altrimenti risulterebbero essere poco distinguibili.
Il metodo varimax obliquo invece si effettua facendo compiere una rotazione degli assi secondo angoli differenti da 90°.

-Infine si ha l'interpretazione dei risultati; questa é la parte più soggettiva non esistendo alcuna rigida regola che viene imposta dal metodo. Per la nomenclatura relativa ai fattori estratti generalmente si utilizzano sigle, oppure la natura della nuova associazione individuata.

Due test finali vengono ancora compiuti per controllare l'attendibilità del risultato ottenuto; il primo misura il grado di Complessità delle variabili (Variable complexity), che consiste nel determinare l'influenza che ogni variabile possiede sui fattori considerati. E' evidente che quanto più il valore ottenuto si avvicina all'unità, tanto più il risultato ottenuto é valido; valori elevati indicano invece che il processo di semplificazione proposto dall'analisi fattoriale non ha avuto successo.
Segue il Fattore di Intercorrelazione (Primary Intercorrelation Factor) ottenuto dalla matrice n x n (dove ad n corrisponde il n° di fattori estratti), il quale deve possedere un valore < 0.5 altrimenti il numero dei fattori impiegati non sono stati sufficienti per descrivere le variabili estratte.

Le associazioni analizzate, tramite l'utilizzo di uno scatterplot a tre dimensioni, ha permesso, grazie alla possibilità di rotazione e ricostruzione in tempo reale, di individuare i gruppi di variabili distribuite nello spazio.
Emergono fondamentalmente i clusters già individuati con le tecniche di analisi multivariata trattate in precedenza.
- L'associazione più importante risulta essere data dalle variabili legate alla geometria del bacino ed alla lunghezza/numero delle aste fluviali (Area, Perimetro, Lunghezze delle aste e del bacino, Numero delle Aste e Numero di anomalia gerarchica). Il risultato che si ottiene ruotando gli assi (varimax ortogonale e obliquo) permette di individuare due associazioni minori, costituite dal Perimetro e Lunghezza del bacino (P, Lb) e la Lunghezza totale delle aste di terzo ordine e lunghezza dell'asta principale (L3t, La). Essendo il numero di corsi d'acqua analizzati appartenenti nella maggior parte dei casi a corsi di terzo ordine, é chiaro come le variabili L3t e La siano correlate tra esse.
- Il secondo gruppo, numericamente inferiore, é legato ai valori del dislivello del corso d'acqua, o alla pendenza del bacino, ed al rapporto di rilievo (Pb, Pa, Rh).
- Possiedono stretti rapporti spaziali inoltre le coppie di variabili: Rapporti di Circolarità ed Allungamento (Ra, Rc), i rapporti e gli indici di biforcazione (Rb, Rbd, Rb°, Rbd°, R, R°), le lunghezze medie dei corsi d'acqua di I° e II° ordine (L1m, L2m), il valore della Rugosità con l'Indice di anomalia gerarchica (Rugo, Da).
Il confronto tra i valori ottenuti dalle variabili standardizzate e normalizzate, permette di fare alcune considerazioni sui due metodi di trasformazione: mentre con i dati standardizzati non si riscontrano problemi particolari sull'interpretazione dei risultati ottenuti, maggiore attenzione deve essere posta sull'analisi delle variabili che hanno subito il processo di normalizzazione; esse infatti pur appartenendo allo stesso fattore, possono presentare una distribuzione differente a seconda del metodo di trasformazione utilizzato. Per esempio i valori legati al numero di corsi d'acqua di I° e II° ordine (N1 ed N2), che si rinvengono normalmente associati alla lunghezza totale delle aste (vedi le analisi precedenti), essendone stato impiegato il reciproco, il valore del loading viene a posizionarsi in una posizione diametralmente opposta rispetto a quella che ha impiegando la variabile non trasformata.

Analisi di Corrispondenza (Correspondence Analysis)
Questa tecnica (in francese Analyse Factorielle des Correspondences), sviluppata per la prima volta da BENZECRI (1970), viene utilizzata per estrarre il maggior numero di informazioni possibile da una serie di variabili aventi valori positivi e, a differenza dall'Analisi dei Componenti Principali ed Analisi Fattoriale che privilegiano i dati organizzati su righe o su colonne, essa combina i valori della matrice di variabili X,Y.
I punti distribuiti spazialmente sono considerati come aventi associati ad essi una massa (o peso) che ne definisce la posizione. La percentuale determinata dagli assi (inertia) sostituisce la varianza percentuale dell'Analisi dei Componenti Principali.
L'Analisi delle Corrispondenze é impiegata principalmente quando si hanno come valori di input delle frequenze, tavole di contingenza, probabilità, dati ordinati per categorie e valori misti di dati qualitativi e categorie.
Dai grafici si ottengono diverse associazioni, funzione del grado di correlazione, e da esse si possono separare i termini più discriminanti; é possibile osservare:
1- associazioni ravvicinate di punti (clusters) interpretabili come il risultato di uno stesso processo, od appartenenti ad una medesima famiglia;
2- in maniera analoga, variabili che possiedono un elevato grado di correlazione si rinverranno spazialmente vicine una all'altra;
3- i punti che si dispongono secondo una direzione diametralmente opposta, possiedono un grado di correlazione negativo.
Per quanto concerne le proiezioni bidimensionali, particolare attenzione deve essere posta al fatto che i punti ravvicinati che si vengono ad identificare, in realtà appartengono ad uno spazio tridimensionale, e di conseguenza essi possono non avere alcun grado di correlazione reale. Al fine di evitare questo tipo di errore, é possibile calcolare il contributo che ogni valore apporta al fattore principale; un altro metodo per analizzare la relazione esistente, consiste nel proiettare le stesse variabili su un piano definito da combinazioni differenti di fattori.
Un'utile rappresentazione grafica consiste infine nel congiungere le variabili con il centro (0,0) del diagramma. Le rette che così si vengono ad individuare, evidenziano maggiormente la distanza dal centro geometrico, le associazioni e le distanze dal punto medio.

La necessità di avere un set di valori non negativi e completo, ha reso necessario la selezione dei bacini (19) in funzione del numero dei parametri disponibili. Dallo sviluppo del grafico relativo alla significatività delle dimensioni ottenute, risulta evidente come già solo la prima dimensione (D1) possieda una significatività (inerzia) maggiore del 80%, sufficiente a descrivere le variabili ed i bacini utilizzati; é possibile osservare come i bacini presentino una distribuzione, lungo l'asse D1, funzione della dimensione areale posseduta, poiché quelli occupanti una superficie maggiore si rinvengono nel settore destro del grafico (valore massimo: Maremola, V° ordine, sup. 45,27 Kmq), mentre in corrispondenza di valori sempre più negativi si hanno via via bacini di più ridotte dimensioni (valore minimo: bacino n°27, III° ordine, sup. 0,34 Kmq). Le variabili morfometriche, caratterizzanti i bacini analizzati, occupano posizioni prossime ai bacini che possiedono i valori più rappresentativi (o più elevati) delle stesse; i cluster individuabili sono costituiti da:
- Superficie, Lunghezza delle aste e Numero dei corsi di I° e II° ordine (A, Lt, L1t e L2t, N1, N2 rispettivamente);
- Perimetro, Lunghezza del bacino (P, Lb);
- Rapporto di rilievo, pendenza dell'asta e del bacino (Rh, Pa, Pb);
- Rapporti di Allungamento, Circolarità, Integrali ipsometrici e della curva di equilibrio (Ra, Rc, I, Ieq).
Confrontando la posizione occupata dalle singole variabili e dei bacini, si osservano le seguenti associazioni:
- i bacini del Lavezzino e Giustenice (entrambi di IV° ordine) si rinvengono in prossimità del gruppo di variabili composto dalla Superficie, il Numero di aste di I° e II° ordine, le Lunghezze totali dei corsi d'acqua (A, Lt, L1t, L2t, N1, N2), essendo essi caratterizzati da valori elevati delle stesse;
- il torrente Maremola é prossimo a Ga, possedendo questo bacino un valore decisamente elevato sopra la media del numero di anomalia gerarchica;
- il bacino dello Zerbi si rinviene associato con il Rapporto di Allungamento e di Circolarità (Ra, Rc), e con la coppia Integrale ipsometrico e curva di equilibrio (I, Ieq). Essi riflettono (I e Ieq) lo scarso grado di maturità posseduto dal bacino;
- il bacino del Giustenice (III° ordine) possiede un numero elevato di corsi d'acqua di ordine inferiore, ed occupa una grande superficie, risulta essere giustificato quindi il rapporto esistente con le variabili La, ed Lb;
- il bacino n° 27 si rinviene in prossimità dei valori di Rh, Pb, Pa, possedendo esso un'elevata energia del rilievo.
Da quanto rilevato, emerge quindi come questo tipo di analisi permetta, oltre a determinare i rapporti intercorrenti tra le variabili morfometriche, anche le relazioni (con le dovute cautele), con i bacini cui sono legate, alfine di ottenere informazioni utili nell'individuazione di bacini campione.

Multidimensional Scaling (MDS)
Si tratta del metodo di classificazione di variabili (ordination) più utilizzato e potente; lo scopo principale é quello di ridurre il numero di variabili (data reduction) cioè, sulla base delle relazioni intercorrenti tra esse, creare associazioni o nuove singole variabili, che rappresentino il più accuratamente possibile i dati di partenza.

La terminologia che viene impiegata per definire i differenti risultati che si ottengono, proviene dal mondo della psicologia, essendo questa tecnica largamente utilizzata nello studio delle risposte alle reazioni e stimoli (preferenze, legami, percezioni, voti ecc.) compiute su individui umani.
Il processo dell' MDS inizia prendendo in esame una matrice di similarità (contenente i valori dei coefficienti di correlazione, Spearman Pearson, Kendall....) o di dissimilarità (distanza euclideiana) e il cui scopo é quello di generare un set di punti in coordinate spaziali 2D, la cui distanza rispettiva è funzione della relazione esistente tra le variabili esaminate.

Questa analisi si può applicare indifferentemente ad intervalli di dati (metodo metrico o metodo di Torgerson's) che a serie organizzate per ordini (metodo non metrico) tramite i coefficienti di correlazione di Kendall e Spearman; quest'ultimo metodo, sebbene possieda minori restrizioni rispetto al precedente, risulta essere meno rigoroso.

Dalle matrice di similarità si ottengono i valori chiamati stimuli, analoghi ai loadings incontrati nell'Analisi dei Componenti Principali e nell' Analisi Fattoriale; essi sono necessari per la determinazione del numero di dimensioni minime per descrivere al meglio le similarità e per definire la localizzazione dei punti nello spazio multidimensionale.
Nel metodo metrico le distanze tra i punti possono essere convertite in una matrice di prodotti scalari, che vengono successivamente trasformati in fattori per fornire direttamente le coordinate degli stimuli. Se la distanza tra i dati risulta essere compresa entro uno stretto intervallo di valori, una costante additiva (additive constant) viene stimata per effettuarne la conversione in distanze scalari.
Normalmente si opera utilizzando due dimensioni, costruendo un grafico bidimensionale X-Y (chiamato anche point map) in cui i singoli punti rappresentano i singoli statements (o variabili); l'impiego di ulteriori dimensioni può essere effettuato qualora il risultato ottenuto non risultasse soddisfacente, evidentemente é possibile utilizzare N-1 dimensioni (dove N corrisponde al numero di variabili), anche se risulta alquanto complesso interpretare un sistema di dati avente più di tre dimensioni.
La precisione ottenuta dal calcolo viene espressa dal valore dello Stress; alti valori (>0,25) individuano una certa complessità nella matrice di similarità di partenza, ovvero esiste una notevole variabilità (o rumore) nelle serie di dati originari. Stress inferiori a 0,1 corrispondono invece ad un buon grado di raggruppamento.
Sulla base di quanto emerge, si può osservare come le associazioni individuate differiscano leggermente tra loro a seconda del metodo di analisi impiegato.

Utilizzando il non metric method, considerando quindi i valori dei coefficienti di correlazione ottenuti tramite Spearman, vengono estratte le prime tre dimensioni (vedi lo Skree test) e dall'analisi degli stimulus emergono i seguenti clusters:
-Variabili legate alle condizioni geometriche del bacino (Area, Perimetro, Lunghezza delle aste e Lunghezza del bacino, Numero delle aste di II° ordine);
-Variabili legate ai valori del dislivello delle aste e del bacino (Pendenza asta, Pendenza del bacino e Rapporto di Rilievo;
-Densità di Drenaggio e Coefficiente di drenaggio (il secondo corrisponde al reciproco del primo);
-Rapporto di Circolarità e di Allungamento, espressione delle caratteristiche geometriche del bacino ricavate secondo metodi di calcolo differenti;
-Le variabili legate al dislivello dell'asta, Lunghezza media dei corsi di III° ordine, ed agli Indici di biforcazione, sebbene risolvibili in due coppie (Ha, L3m e R, R°) si rinvengono prossime nello spazio tridimensionale;
-Rapporti di biforcazione (espresso come media ponderale) e Biforcazione diretto;
-Lunghezza asta principale e Lunghezza totale delle aste di III° ordine.

Il metric method che utilizza i coefficienti di Pearson ha fornito invece le seguenti associazioni:
-L'associazione legata alle variabili geometriche del bacino, a differenza dal metodo precedente, associa anche il Numero delle aste di I° ordine, la Lunghezza dell'asta principale, la Lunghezza totale delle aste di II° e III° ordine.
-Variabili legate ai valori del dislivello delle aste e del bacino (Pendenza asta, Pendenza bacino e Rapporto di rilievo;
-Densità di drenaggio e Coefficiente di drenaggio;
-Rapporti di biforcazione e biforcazione diretti (espressi anche come media ponderale);
-Dislivello del bacino e Rugosità (si ricordi come la variabile Rugosità di ottenga moltiplicando la densità di drenaggio per il dislivello del bacino stesso);
-Le variabili date dalla Frequenza di drenaggio, Lunghezza media dei corsi di I° ordine, Rapporti di Circolarità e Allungamento ed Indici di biforcazione; sebbene esse si rinvengano prossime quando si impiegano le dimensioni D1, D2 e D3, vengono risolte se sono utilizzati gli stimulus relativi alla dimensione 4 (vedi Tavola 21).

CONCLUSIONI
Sulla base dei risultati ottenuti, i gruppi che hanno mantenuto un costante rapporto di relazione in tutte le analisi effettuate sono stati:
-Rapporti di Circolarità ed Allungamento (Ra, Rc);
-Indici di Biforcazione (R, R°);
-Lughezza delle aste di III° ordine e lunghezza dell’asta principale (L3t, La);
-Pendenza del bacino, Pendenza dell’asta, Rapporto di Rilievo (Pa, Pb, Rh);

Evidentemente i primi due gruppi, come già affermato in precedenza, sono obbligatoriamente legati tra loro in quanto espressione delle medesime caratteristiche (geometriche nel primo caso, e gerarchiche nel secondo). Essendo il terzo gruppo composto quasi totalmente di bacini di III° ordine, é evidente come la lunghezza totale delle stesse sia pressoché uguale alla lunghezza dell’asta principale.
Il quarto cluster ha sempre evidenziato un certo grado di compattezza: é chiaro come i valori del Rapporto di Rilievo e della Pendenza del bacino siano spazialmente più prossimi tra loro, esprimenti, secondo procedure di calcolo differenti, rapporti tra l’altezza e la lunghezza di un bacino o di un’asta. Nel complesso essi possono essere riuniti sotto il nome di una variabile definibile con il termine di ‘Pendenze’; ad esso possono essere associati anche il valori del dislivello posseduto dalle aste e dai bacini (Ha, Hb). Queste non hanno mai mostrato rapporti diretti con i valori delle pendenze, e tra esse si hanno solo parziali correlazioni osservabili nella Cluster Analysis e le Matrici di Similarità (valori standardizzati e coefficiente di Pearson).
Segue l’associazione che ha fornito i risultati più interessanti, caratterizzata da quei valori che caratterizzano la variabile ‘Geometria del bacino’, ed essi sono:
Superficie, Perimetro, Lunghezza dell’asta principale,Lunghezza totale e Lunghezza totale dei corsi di I°, II° e III° ordine, Lunghezza del bacino, Numero delle aste di I° e II° ordine, Numero di Anomalia gerarchica (A, P, La, Lt, L1t, L2t, L3t, N1, N2 e Ga rispettivamente). Da questo gruppo é possibile talvolta distinguere tre sottogruppi dati da La ed L3t (già visti in precedenza), Perimetro e Lunghezza del bacino, e l’insieme A, Lt, L1t, L2t, L3t, N1, N2 e Ga. La stretta relazione che si viene a riscontrare tra queste ultime variabili, permette di poter affermare che, a seconda dei parametri morfometrici posseduti relativi ad un bacino idrografico é possibile, ai fini della caratterizzazione dello stesso dal punto di vista geometrico, prenderne in considerazione soltanto alcune senza perdere significative informazioni.
Il gruppo relativo ai parametri legati alla ‘Gerarchizzazione’, cioè i rapporti di biforcazione normali, diretti e ponderati (Rb, Rbd, Rb°, Rbd°), in generale non possiedono rapporti stretti con le altre variabili morfometriche, anche se si osserva talvolta un legame tra essi ed il numero di aste di I° ordine presenti nel bacino, con l’integrale della curva ipsometrica e la lunghezza media dei corsi di III° ordine. Il significato di tali relazioni potrebbe essere cercato sia in uno scarso numero di variabili talvolta disponibili per il calcolo, sia a relazioni numeriche che l’algoritmo permette di mettere meglio in evidenza rispetto ad altri processi d’analisi.
A questo gruppo si possono associare i valori relativi agli Indici di Gerarchizzazione visti in precedenza. E’ per esempio il caso della relazione esistente tra il valore della Densità di Drenaggio ed il coefficiente di Drenaggio (D e C rispettivamente); sebbene esista una relazione direttamente inversa tra i due valori (C=1/D) solo il metodo del MultiDimensional Scaling ha permesso di riconoscerne appieno il rapporto.
Il legame tra la Frequenza di Drenaggio e la Densità di Drenaggio (la prima data dal rapporto tra il n° di aste di I° ordine e la superficie, il secondo tra la lunghezza totale delle aste e la superficie), emerge invece esclusivamente utilizzando la Cluster Analysis. Minori relazioni sono state messe in rilievo, tutt’alpiù legate a rapporti diretti od inversi che emergono tra due o più variabili in gioco (come per il valore della Rugosità ricavato dal prodotto della Densità di Drenaggio per il dislivello dell’asta principale ecc.) o per fenomeni casuali.
I termini legati al valor medio delle lunghezze delle aste dei differenti ordini non hanno rivelato pressoché alcun rapporto con le restanti variabili, ed essendo corrispondenti ad un valor medio, possono essere escluse dalla serie di variabili senza avere alcuna perdita di informazioni.

Di seguito vengono elencate le associazioni che, indipendenti le une dalle altre, possono descrivere al meglio le caratteristiche morfometriche di un bacino idrografico.

Geometria del bacino:
Fattori legati alla superficie e lunghezza (A, La, Lt, L1t, L2t, L3t, N1, N2, Ga)
Fattori legati al perimetro (P, Lb)
Pendenze:
Fattori legati alle pendenze (Pa, Pb, Rh)
Fattori legati ai dislivelli (Ha, Hb)

Gerarchizzazione:
Indici di Biforcazione (R, R°)
Gerarchizzazione (Rb, Rbd, Rb°, Rbd°)

Densità di Drenaggio (D, C, F)
Fattori di Forma (Ra, Rc)
Integrali (I, Ieq)

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